1. A Função Cumulativa de Distribuição Conjunta (FCDC)
A base da análise multivariada é a Função de Distribuição Conjunta $F(a_1, a_2, \dots, a_n)$. Ela define a probabilidade de que múltiplas condições sejam satisfeitas ao mesmo tempo.
$F(a_1, a_2, \dots, a_n) = P\{X_1 \le a_1, X_2 \le a_2, \dots, X_n \le a_n\}$
Esta fórmula representa a probabilidade de que cada variável $X_i$ caia abaixo do seu respectivo limite $a_i$ simultaneamente. Geometricamente, em duas dimensões, isso é a probabilidade de que o par aleatório $(X, Y)$ caia no retângulo semi-infinito situado no canto inferior esquerdo do ponto $(a, b)$.
2. A Interpretação Infinitesimal da Densidade
Para variáveis contínuas, descrevemos a probabilidade por meio de uma Função de Densidade de Probabilidade Conjunta (FDCP), $f(x, y)$. Ao contrário dos casos discretos, a probabilidade em um único ponto é zero. Em vez disso, olhamos para regiões infinitesimais:
- A probabilidade de que um par $(X, Y)$ caia dentro de um pequeno retângulo é dada por:
$P\{a < X < a + da, b < Y < b + db\} = \int_{b}^{b+db} \int_{a}^{a+da} f(x, y) \, dx \, dy \approx f(a, b) \, da \, db$ - Alternativamente expresso como: $P\{x < X < x + dx, y < Y < y + dy\} \approx f(x, y) dx dy$
Isso revela que $f(x, y)$ é uma "densidade" relativa à área da região no plano cartesiano.
3. Dependência e Restrições Geométricas
Na probabilidade, variáveis aleatórias que não são independentes dizem-se dependentes. Isso não é apenas uma propriedade algébrica; é frequentemente visível no suporte da distribuição.
Considere um ponto $(X, Y)$ escolhido uniformemente dentro de um círculo de raio $R$ centrado em $(0,0)$. As variáveis $X$ e $Y$ são dependentes porque saber que $X = x$ limita os valores possíveis de $Y$.
Se $X$ estiver próximo de $R$, $Y$ deve estar próximo de $0$. Matematicamente, $Y$ está restrito: $-\sqrt{R^2 - X^2} \le Y \le \sqrt{R^2 - X^2}$. Essa fronteira é o que impede que a densidade conjunta seja fatorada em marginais independentes.